矩阵低秩稀疏分解方法与应用研究

　　随着大数据时代的到来，稀疏性成为研究大数据的重要手段。随着计算机和信息技术的普及与应用，特别是互联网技术、通信技术、数字技术和云计算等行业应用规模的迅速扩大，各行业所产生的数据量呈爆炸性增长，时刻都会产生大量的、多样化的、结构复杂的、冗余的、高维的海量数据。然而，这些数据中蕴含着非常有价值的信息，但又无法通过常规手段直接观察到。因此，大规模数据分析是现代科学技术与工程应用等领域内处理大数据科学问题的关键课题之一。
　　《矩阵低秩稀疏分解方法与应用研究》在酉不变范数意义下，通过矩阵的广义逆分解理论，利用矩阵的相关投影性质，研究了矩阵低秩分解的扰动理论；基于受限等距性质，在理想情况下研究了矩阵低秩稀疏分解的性质，并给出了稀疏矩阵精确重构的充分条件：在噪声情况下，分析了稀疏矩阵恢复的鲁棒性，给出了误差上界；基于鲁棒主成分分析模型（RPCA），提出了矩阵低秩稀疏分解的可分离替代函数法，并设计了近似点迭代阈值算法（PPIT）和基于不精确的增广拉格朗日方法（IALM）的可分离替代函数算法（SSF-IALM）求解RPCA模型；最后《矩阵低秩稀疏分解方法与应用研究》提出了矩阵的稀疏低秩因子分解模型（SLRF），并设计了两种求解此模型的算法：惩罚函数法（PFM）和增广拉格朗日方法（ALMM）。

　　刘子胜，男，1985年生，河南濮阳人，河南财经政法大学统计与大数据学院讲师。研究方向为稀疏优化与大数据中的优化、矩阵低秩分解、矩阵补全问题等。在国际SCI、《中国科学》等期刊发表学术论文多篇，主持全国统计科学研究项目、河南省高等学校重点科研项目等多项。

　　随着大数据时代的到来，稀疏性成为研究大数据的重要手段。计算机和信息技术的普及与应用，特别是互联网技术、通信技术、数字技术和云计算等行业应用规模的极速扩大，各行业所产生的数据量也呈现出爆炸性增长，这些现象时刻都会产生大量的、多样化的、结构复杂的、冗余的、高维的海量数据。这些数据中蕴含着具有价值的信息，但却无法通过常规手段直接观察到。因此，大规模数据分析便成为现代科学技术与工程应用等领域内处理大数据科学问题的关键课题之一。
　　我们知道，从信号采样的角度出发，压缩感知有效地揭示了信号的本质特征，根据信号的可压缩性，压缩感知又被称为稀疏表示，并且稀疏表示理论及模型已经成功地被应用于信号及图像处理领域。稀疏表示的思想是用尽可能简洁的方式表示信号，即大部分原子系数为零，只有很少的非零大系数。由于大的非零系数揭示了信号或图像的内在结构与本质属性，因此，信号或图像的稀疏表示能够有效地提取其本质特征，从而有利于后续的信号或图像的可压缩处理。
　　与压缩感知紧密相连的另一个问题是矩阵的低秩稀疏分解问题。从本质上讲，矩阵低秩稀疏分解是压缩感知的延拓和推广。在大数据时代，很多数据的主要成分隐藏在低维空间中，而这些主要成分往往会受到稀疏噪声的干扰，因此，研究矩阵低秩稀疏分解问题是非常有意义的。本书主要对矩阵低秩稀疏分解的方法与应用问题进行了深入和系统的研究，取得的主要研究成果包括：
　　第一，在酉不变范数意义下，本书研究了矩阵低秩逼近的扰动理论。